3X^2+6xy-y^2=2008

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 08:45:01
求方程3X^2+6xy-y^2=2008的整数解组
答案：无整数解。
求解题过程。

3x^2+6xy = 2008+y^2
3能够整除左边，也应该能整除右边
2008/3 = 669余1，那么y^2应该除以3余2,
对y按3种情况讨论：被3整除，被3除余1，被3除余2
假设y=3k,y^2 = 9k^2被3整除显然不行
假设y=3k+1,y^2 = 9k^2+6k+1,被3除余1，显然也不行
假设y=3k+2,y^2 = 9k^2+12k+4 = （9k^2 + 12k + 3）+1，被3除余1，显然也不行。
因此不存在这样的y。
无整数解

设y=3k
则3X^2+6xy-y^2=3X^2+18xk-9k^2=3(x^2+6xk-3k^2)是3的倍数
而2008不是3的倍数
3X^2+6xy-y^2≠2008

设y=3k±1
则3X^2+6xy-y^2+1=3X^2+6x(3k±1)-3(3k^2±2k)-1+1
=3X^2+6x(3k±1)-3(3k^2±2k)是3的倍数
而2008+1=2009不是3的倍数
3X^2+6xy-y^2≠2008

所以,无整数解

假设有整数解，令y=k是其中的解，那么方程简化为
3x^2+6kx-3k^2-2008=0
要上面的方程有整数解，则
判别式deta=6k*6k+4*3*(3k^2+2008)>0，这是成立的
并且x1+x2=-3k，x1x2=-(k^2+666)
所以x1,2=-k+(-)根号下【2k^2+666】
只要证明根号下【2k^2+666】不是整数就可以了

因式分解有:
2008=(3X^+6XY+Y^2)-2(Y^2)
=[(根号3)X+Y]^2-2(Y^2)
=[(根号3)X+Y+(根号2)Y]*[(根号3)X+Y-(根号2)Y]
若X与Y 为整数，则上式不成立，因为两个非整数相乘，结果不可能为整数。显然上式右侧两个括号内的结果不为整数.